Schülerzirkel Mathematik - Lösung des Problems vom Mai 2004

Zu jeder Farbe gibt es höchstens zwei Gummibärchen. Es gibt auch tatsächlich zwei Gummibärchen mit der gleichen Farbe.
(Die Formulierung muss hier etwas umständlich ausfallen, weil der 1. Fall nicht ausgeschlossen wäre, wenn der erste Satz im 2. Fall allein stehen würde.)
1. Unterfall:

Es gibt nur eine Farbe, auf die zwei Gummibärchen entfallen, für alle anderen Farben gibt es nur höchstens ein Gummibärchen. Es muss dann auch eine Farbe geben, die nicht vorkommt.
Es gibt 5 Möglichkeiten für die Farbe der beiden gleichen Gummibärchen. Zu jeder dieser 5 Möglichkeiten gibt es 4 für die Farbe, die nicht vorkommt. Das ergibt 5 · 4 = 20 Kombinationen von beidem. Das ist zugleich die Zahl der Möglichkeiten für diesen Unterfall.

2. Unterfall:

Es gibt zwei Farben, auf die zwei Gummibärchen entfallen, für alle anderen Farben gibt es nur höchstens ein Gummibärchen. Es muss dann zwei Farben geben, die nicht vorkommen.
Ich stelle mir die fünf Ecken eines Fünfecks vor, an jede Ecke ist eine der fünf Farben geschrieben. Eine Strecke, die zwei Eckpunkte des Fünfecks als Endpunkte hat, steht damit für eine Farbkombination, es gibt genau so viele Farbkombinationen von zwei Farben wie Verbindungsstrecken bei den fünf Ecken. Man zählt leicht aus, dass es 10 Farbkombinationen gibt. Das letzte Gummibärchen kann unabhängig davon eine der drei fehlenden Farben haben, so dass es hier 10 · 3 = 30 Möglichkeiten gibt.

Einen weiteren Unterfall kann es nicht mehr geben.
Damit hat man für den 2. Fall insgesamt 20 + 30 = 50 Möglichkeiten.

Zu jeder Farbe gibt es höchstens drei Gummibärchen. Es gibt auch tatsächlich drei Gummibärchen mit der gleichen Farbe.
Dann bleiben noch zwei Gummibärchen übrig, die die gleiche Farbe oder verschiedene Farben haben können.
1. Unterfall:

Die verbleibenden Gummibärchen haben die gleiche Farbe. Es gibt dann 5 Möglichkeiten für die Farbe der drei gleichfarbigen Gummibärchen und zu jeder dieser Möglichkeiten 4 für die Farbe der verbleibenden zwei Gummibärchen, also 5 · 4 = 20 Möglichkeiten insgesamt.

2. Unterfall:

Die verbleibenden Gummibärchen haben verschiedene Farben. Es gibt 5 Möglichkeiten für die gemeinsame Farbe der drei Gummibärchen. Bei jeder dieser Möglichkeiten bleiben vier Farben übrig, auf die sich die zwei übrigen Gummibärchen verteilen. Bei zwei Gummibärchen und vier möglichen Farben gibt es 6 Kombinationen (Statt sich ein Fünfeck wie oben aufzuzeichnen, reicht diesmal ein Viereck.)
Damit gibt es für diesen Unterfall 5 · 6 = 30 Möglichkeiten.

Einen weiteren Unterfall gibt es nicht. Damit hat man für den dritten Fall 20 + 30 = 50 Möglichkeiten.

Zu jeder Farbe gibt es höchstens vier Gummibärchen. Es gibt auch tatsächlich vier Gummibärchen mit der gleichen Farbe. Es ist dann noch ein Gummibärchen mit einer anderen Farbe übrig.
Für die Farbe der gleichen Gummibärchen gibt es 5 Möglichkeiten, zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es 4 Möglichkeiten für die Farbe des anderen Gummibärchens, also 4 · 5 = 20 Möglichkeiten insgesamt im vierten Fall..