Auf wie viele Weisen kann man Gummibänder über die Nägel streifen, so dass Rechtecke entstehen?

Wie viele dieser Gummirechtecke sind Quadrate?

Wie lässt sich das Ergebnis auf größere Nagelbretter übertragen?

Vorbemerkung: Bei der folgenden Lösung wird vorausgesetzt, dass die Seiten der Gummirechtecke parallel zum Rand sind. Für Interessierte gibt es noch die Möglichkeit, herauszufinden, wie sich die gefundenen Zahlen vergrößern, wenn auch schräg liegende Rechtecke zugelassen werden.

Es kommt darauf an, ein Verfahren zu finden, wie man alle Rechtecke zweckmäßig zählen kann. Ein geeignetes Verfahren ist es, zu fragen, wie viele Rechtecke es gibt, die den gleichen Nagel als linke untere Ecke haben.

Ein Rechteck ist eindeutig festgelegt, wenn man angibt, welcher Nagel die linke untere Ecke und welcher Nagel die rechte obere Ecke ist. (Wir stellen uns ein Koordinatenkreuz vor, das unter den Nägeln liegt in der Weise, dass der Nagel ganz unten ganz links beim Punkt (0|0) dieses Koordinatenkreuzes eingeschlagen wurde, sein rechter Nachbar beim Punkt (1|0) usw.)

Mit der linken unteren Ecke (0|0) gibt 4 ⋅ 5 Rechtecke, weil alle Punkte mit den x-Koordinaten von 1 bis 4, die als y-Koordinate eine der Zahlen von 1 bis 5 haben, als rechte obere Ecke in Frage kommen.
Entsprechend gibt es zur linken unteren Ecke (0|1) 4⋅ 4 Rechtecke, zur linken unteren Ecke (0|2) 4 ⋅ 3 Rechtecke, zur linken unteren Ecke (0|3) 4⋅ 2 Rechtecke und zur linken unteren Ecke (0|4) 4 ⋅1 Rechtecke.
Mit linken unteren Ecken aus der ersten Nagelspalte gibt es also
4 ⋅ 5 + 4⋅ 4 + 4 ⋅ 3 + 4⋅ 2 + 4 ⋅ 1 = 4⋅ (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 4⋅ 15 Rechtecke.
Ganz entsprechend erhält man für die nächste Nagelspalte
3 ⋅ 5 + 3⋅ 4 + 3⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 3⋅ 1 = 3⋅ (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 3⋅ 15 Rechtecke.
Schließlich für die letzten beiden 2⋅ 15 Rechtecke und 1⋅ 15 Rechtecke.
Insgesamt sind es also
15⋅ 4 + 15⋅ 3 + 15⋅ 2 + 15⋅ 1 = 15⋅ (4 + 3 + 2 + 1) = 15 ⋅ 10 = 150 Rechtecke.

Man kann also das Gummi auf 150 Weisen über die Nägel streifen, so dass Rechtecke entstehen.

Sieht man sich die Zwischenergebnisse an, so fallen die Summen auf, bei der die natürlichen Zahlen von 1 an bis zu einer höchsten aufsummiert werden. Dafür gibt es eine Formel, die man herleiten kann, wenn einem auffällt, dass die erste und die letzte Zahl, die zweite und die vorletzte usw. immer die gleiche Summe haben. Ist die größte Zahl n, so ist diese Summe n + 1.  Nimmt man diese Summe so oft, wie es Summanden in der Summe gibt, deren Formel wir erhalten wollen, so erhält man n⋅ (n+1), das ist das Doppelte. Also:
1 + 2 + ... + (n - 1) + n = ½ ⋅ n ⋅ (n + 1)

Mit dieser Formel lässt sich das Ergebnis von oben verallgemeinern.
Wir gehen von m Spalten aus, in denen jeweils n Nägel stehen. (Für das Beispiel eben wäre m = 5 und n = 6.)
Für die linke untere Ecke (0|0) gibt es (m-1)⋅ (n-1) Rechtecke,  für  die linke untere Ecke (0|1)  gibt es (m-1)⋅ (n-2) usw. Damit erhält man für die erste Spalte (x-Koordinate 0)

(m-1)⋅ ((n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1) = (m-1)⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1)
Für die weiteren Spalten ergibt sich entsprechend wie oben
(m-2)⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1); ...; 2⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1); 1⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1) und als Summe

((m-1) + (m-2) + ... + 2 +1)⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1) = ½ ⋅ m ⋅ (m-1)⋅ ½ ⋅ n ⋅ (n-1) = ¼ ⋅ m ⋅ (m-1)⋅ n ⋅ (n-1)

Wenn m Nägel nebeneinander und n Nägel hintereinander stehen, lassen sich ¼ ⋅ m ⋅ (m-1)⋅ n ⋅ (n-1) Gummirechtecke bilden.
Das mathematische Beweisverfahren, dass man hier anwenden müsste, heißt vollständige Induktion. Wir begnügen uns damit, zu überprüfen, was sich für m = 5 und n = 6 ergibt:
¼ ⋅ 5 ⋅ (5-1)⋅ 6 ⋅ (6-1) = ¼ ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = 150

Wie viele Rechtecke sind Quadrate?
Es ist einfacher, die Quadrate für sich zu zählen, als die Rechtecke auszusortieren, die keine Quadrate sind.
Bezogen auf unser ursprüngliches Nagelbrett kann es vier Quadratgrößen geben; Quadrate die eine Seite haben, die länger als vier Einheiten unseres Koordinatenkreuzes sind, passen nicht mehr, bzw. es gibt keine Nägel mehr, an denen die Gummis aufgespannt werden könnten.
Beginnt man mit einem 1x1-Quadrat, dessen untere linke Ecke in (0|0) liegt,  so ist es das 1x1-Quadrat, was am weitesten unten und am weitesten links liegt. Seine rechte obere Ecke liegt bei (1|1). Wenn wir in Gedanken dieses Quadrat verschieben, dann kommen als neue rechte obere Ecken nur solche in Frage, die weiter rechts oder weiter oben liegen als (1|1). Das ergibt 4 ⋅ 5 Möglichkeiten für 1x1-Quadrate. Mit der gleichen Überlegung erhält man, dass es von den 2x2-Quadraten 3⋅ 4, von den 3x3-Quadraten  2 ⋅ 3 und von den 4x4-Quadraten 1⋅ 2 gibt.
Wir rechnen also 4 ⋅5 + 3⋅ 4 +  2 ⋅ 3 + 1⋅ 2 = 40 und wissen, dass 40 der 150 Gummirechtecke Quadrate sind.
Man kann also das Gummi auf 40 Weisen über die Nägel streifen, so dass Quadrate entstehen.

Wie lässt sich das verallgemeinern?

Wir nehmen zunächst an, dass unser Nagelbrett quadratisch ist oder hochkant vor uns liegt (mit anderen Worten, dass unser m von oben nicht größer ist als unser n).
Die größte mögliche Seitenlänge für ein Gummiquadrat ist dann m - 1. Wie im speziellen Fall argumentiert man, dass es für 1x1-Quadrate (m-1) ⋅ (n-1) mögliche rechte obere Ecken gibt, für 2x2-Quadrate (m-2) ⋅ (n-2) mögliche rechte obere Ecken, ..., schließlich für  (m-1)x(m-1)-Quadrate 1⋅ (n - (m-1)) = (m -(m-1)) ⋅ (n-(m-1)) mögliche rechte obere Ecken. Das sind (m-1) ⋅ (n-1) + (m-2) ⋅ (n-2) + ... + (m -(m-1)) ⋅ (n-(m-1)) Quadrate insgesamt. Dem Ganzen kann man noch eine etwas einfachere Form geben, indem man den jeweils zweiten Faktor aufschreibt als 1. Faktor plus Differenz von n und m:
(m-1) ⋅ (m-1+ n - m ) + (m-2) ⋅ (m-2+ n - m ) + ... + (m -(m-1)) ⋅ (m-(m-1) + n - m) =
(m-1)²+ (m-1)⋅ (n - m ) + (m-2)² + (m-2)⋅ ( n - m ) + ... + 1² + 1⋅ (n - m) =
(m-1)²+ (m-2)² + ... + 1² +  ((m-1) + (m-2) + ... + 1) ⋅ (n - m ) =
1/6 ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (2m - 1) + ½ ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (n - m) =
1/6 ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (2m - 1 + 3 ⋅ (n - m)) =
1/6 ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (3n - m - 1)
Anmerkungen: In der dritten Zeile steht die Summe von aufeinanderfolgenden Quadratzahlen. Dafür gibt es eine Formel, die hier aber nicht hergeleitet werden soll. Sie heißt ( 1/6 steht hier wie oben für ein Sechstel):
1² + 2² + ... + k² = 1/6 ⋅ k ⋅ (k + 1) ⋅ (2k + 1)
Ob man die vierte oder die letzte Zeile obiger Herleitung als Endergebnis angibt, ist Geschmackssache. Die vierte Zeile enthält als Spezialfall für quadratische Nagelbretter (m = n) im ersten Summanden schon das Ergebnis.

In einem mxn-Nagelbrett (m<n oder  m=n) kann man
1/6 ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (2m - 1) + ½ ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (n - m) = 1/6 ⋅ m ⋅ (m - 1) ⋅ (3n - m - 1)
Gummiquadrate aufspannen.

Wie oben überprüfen wir unser Ergebnis für m = 5 und n = 6:
1/6 ⋅ 5 ⋅ (5 - 1) ⋅ (2 ⋅ 5 - 1) + ½ ⋅ 5 ⋅ (5 - 1) ⋅ (6 - 5) = 1/6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 9 + ½ ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 1 = 30 + 10 = 40 oder
1/6 ⋅ 5 ⋅ (5 - 1) ⋅ (3 ⋅ 6 - 5 - 1) = 1/6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 12 = 40