Welchen Flächeninhalt haben die Dreiecke AED und BCE?

Wie groß ist der Flächeninhalt A des Trapezes?

Dreieck ABE ist neunmal so groß wie Dreieck CDE. Dreieck ABE ist ferner eine maßstäbliche Vergrößerung von Dreieck CDE; das wird deutlich, wenn wir Dreieck CDE um E halbdrehen. Der Vergrößerungsfaktor – wir nennen ihn l (Lambda; griechisch) – ist für alle Längen 3. (Falls Sie  Netscape verwenden, sehen Sie statt des Lamda ein kleines l. Verlassen Sie dann ausnahmsweise Ihren Lieblingsbrowser, weil Sie sonst nicht l und 1 unterscheiden können.)
Tatsächlich ergibt eine dreifache Grundseite und eine dreifache Höhe einen neunfachen Flächeninhalt des Dreiecks. Man sagt auch: Die Dreiecke ABE und CDE sind ähnlich. Für ähnliche Figuren gilt: Ihre Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate gleichliegender Längen.
Es sei nun x die Länge der Strecke DC, y die Höhe von Dreieck CDE. Dann hat AB die Länge 3x, und die Höhe von Dreieck ABE ist 3y. Die Höhe des Trapezes ist somit 4y, und nach der Formel für den Flächeninhalt A des Trapezes ergibt sich

2 A = (3x + x)·4y2 A = 16xy.

Da

ist, folgt

Die beiden Dreiecke AED und BCE sind flächengleich, da sie sich durch das Dreieck CDE zu zwei Dreiecken mit derselben Grundseite CD und der gleichen Höhe, nämlich der Trapezhöhe, ergänzen lassen. Ihre Fläche hat demnach die Größe

 Für den allgemeinen Fall brauchen wir nur den Vergrößerungsfaktor l einzuführen; für ihn gilt:

l² = A₁: A₂.

Dann ist wieder nach der Inhaltsformel für das Trapez:

2 A = (x + lx)(y + l y) = (1 + l)²xy = (1 + l)² ·2A₂ und
A = (1 + l)² A₂.

Und für den Flächenteil A₃ finden wir: