Ein Kalenderproblem

Abergläubische Menschen befürchten Unangenehmes oder erhoffen sich etwas Besonderes, wenn ein Freitag der dreizehnte Tag eines Monats ist.

1. Untersuche, ob im Laufe eines jeden Jahres mindestens einmal ein „Freitag der dreizehnte“ auftritt, unabhängig davon, ob das Jahr ein Schaltjahr ist oder nicht!
2. Wie oft kann es im Jahr höchstens einen „Freitag den dreizehnten“ geben?
   Auf welchen Wochentag fällt dann der 1. Januar?
3. Tatsächlich fällt der dreizehnte Tag eines Monats häufiger auf einen Freitag als auf jeden anderen Wochentag. Wie kann das sein?

(Diese Aufgabe ohne 3. wurde auf der 43. Mathematikolympiade als Aufgabe 12 im 8. Jahrgang gestellt.
http://www.mathematik-olympiaden.de/)

Wir lassen ein normales Jahr mit einem Montag beginnen. Addiert man immer 7 oder ein Vielfaches davon zum Datum, so erhält man wieder ein Datum mit dem gleichen Wochentag. Also wäre der 15. Januar wieder ein Montag. Da wir aber am 13. des Monats interessiert sind, müssen wir wieder zwei Tage zurückgehen und kommen darauf, dass der 13. Januar ein Samstag ist. Formal kann man 28 Tage weitergehen und würde erhalten, dass der 41. Januar wieder ein Samstag ist. Da bei diesem Formalismus aber der 32. Januar in Wirklichkeit der 1. Februar ist, muss man rechnen 41 - 31 und kommt darauf, dass der 10. Februar ein Samstag ist. Drei Tage weiter gezählt erhält man, dass der 13. Februar ein Dienstag ist.
Mit diesem Verfahren verschafft man sich folgende Tabelle:

Bei einem Schaltjahr gibt es einen 29. Februar. Bei dem oben beschriebenen Verfahren muss man deshalb vom März an immer einen Tag weiter rechnen. Damit kommt man zu folgender Tabelle:

1. Kommt immer ein Freitag, der dreizehnte, vor?

In beiden Tabellen sind alle Wochentage vertreten. Ein anderer Jahresbeginn würde nur eine Verschiebung der Wochentage bedeuten.
Damit steht fest:  In jedem Jahr gibt es mindestens einen Monat, bei dem der 13. auf einen Freitag fällt.

2. Wie viele Freitage, die auf einen dreizehnten fallen, kann es geben?

Innerhalb eines Jahres kann der dreizehnte eines Monats höchstens dreimal auf den gleichen Wochentag fallen. In der oberen Tabelle ist es der Dienstag. Beginnt das normale Jahr mit einem Donnerstag, so verschieben sich auch für die anderen Monate alle Wochentage, die z. B. zum dreizehnten des Monats gehören, drei Tage nach hinten und fallen statt auf einen Dienstag auf einen Freitag.
Fällt in einem normalen Jahr der 1. Januar auf einen Donnerstag, so gibt es in diesem Jahr in drei Monaten einen Freitag den dreizehnten.
Fällt in einem Schaltjahr der 1. Januar auf einen Sonntag, so gibt es in diesem Jahr in drei Monaten einen Freitag den dreizehnten.

3. Warum kommen im Laufe der Zeit nicht alle Wochentage gleich häufig als dreizehnter Tag eines  Monats vor?

Nach der gültigen Schaltjahrsregelung haben alle Jahre, deren Jahreszahl nicht durch 4 teilbar ist 365 Tage. Solche Jahre werden auch als Gemeinjahr bezeichnet. Die meisten Jahre mit Jahreszahlen, die durch 4 teilbar sind, sind Schaltjahre, aber es gibt Ausnahmen und Ausnahmen von den Ausnahmen. Sind die Jahreszahlen durch 100 aber nicht durch 400 teilbar, so sind es keine Schaltjahre. Die Jahre mit durch 400 teilbaren Jahreszahlen sind normale Schaltjahre. Schaltjahre haben 366 Tage.
Ein Gemeinjahr hat mit 365 Tagen 1 Tag mehr als 52 volle Wochen. Im Laufe von 400 Jahren kämen also 400 Tage zu 400 · 52 Wochen dazu, wenn man nur 365 Tage auch für die Schaltjahre ansetzen würde. Da es in dieser Zeit nach obiger Schaltjahrsregelung aber 97 Schaltjahre gibt, kommen noch 97 Tage dazu. Damit haben 400 Jahre 400 · 52 + 497:7 Wochen, d. h. 20800 + 71 = 20871 volle Wochen. Das bedeutet, dass sich die Wochentagsteilung nach 400 Jahren wiederholt. So hatte 1600 die gleiche Wochentagsteilung wie 2000, 1601 die gleiche wie 2001 usw.

In 400 Jahren gibt es 4800 Monate, die auch immer einen dreizehnten haben. Da 4800 aber nicht ohne Rest durch 7 teilbar ist, kann nicht jeder Wochentag gleich oft als dreizehnter eines Monats vorkommen.

Das Auszählen, wie oft jeder Wochentag als dreizehnter eines Monats tatsächlich vorkommt, wurde einem Programm übertragen. Das Programm benutzte, dass der 1. Januar 2001 ein Montag war. Jeder neue Vierhundertjahreszyklus startet wieder mit einem Montag (s. o.).

Danach fällt in 400 aufeinanderfolgenden Jahren der 13. eines Monats 685-mal auf einen Montag, 685-mal auf einen Dienstag, 687-mal auf einen Mittwoch, 684-mal auf einen Donnerstag, 688-mal auf einen Freitag, 684-mal auf einen Samstag und 687-mal auf einen Sonntag.