Schülerzirkel Mathematik - Lösung des Problems vom März 2005

An einer Ecke im Inneren des Fliesenmusters müssen die Winkel, die dort aneinander stoßen, eine Summe von 360° haben. Nehmen wir an, dass an einer Ecke m Quadrate und n Dreiecke zusammenstoßen. Dann gilt m ·90° + n · 60° = 360° oder m + 2n = 12. Da 2n und 12 gerade Zahlen sind, muss auch m eine gerade Zahl sein.

Als Lösungen kommen nur m = 0, m = 2 oder m = 4 in Frage. Wir betrachten zunächst die Fälle m = 0 und m = 4. Für m = 0 ist n = 6, in diesem Fall werden keine Quadrate, sondern nur Dreiecke verwendet. An jeder Ecke im Inneren stoßen jeweils 6 Dreiecke zusammen. Als Muster ergibt sich:

Für m = 4 ist n = 0, in diesem Falle werden nur Quadrate, aber keine Dreiecke verwendet. An jeder Ecke im Inneren stoßen jeweils 4 Quadrate zusammen. Muster:

Quadratgitter

Zu untersuchen bleibt m = 2. Hierbei ist n = 3. An jeder Ecke im Inneren stoßen also 2 Quadrate und 3 Dreiecke zusammen.

1. Die beiden Quadrate, die in einer Ecke zusammenstoßen, haben eine gemeinsame Seite (s. Bild in der Aufgabe). Dann ergibt sich als Fliesenmuster:

2. Die beiden Quadrate haben keine gemeinsame Seite. Dann ergibt sich als Fliesenmuster:

3. Es gibt aber auch (beliebig viele) Mischformen, bei denen an einigen Punkten zwei Quadrate mit gemeinsamer Seite, an anderen Punkten zwei Quadrate ohne gemeinsame Seite zusammenstoßen.