Quadrate in Quadrate teilen

Die Abbildungen zeigen drei Zerlegungen eines Quadrats in 10 Teilquadrate.

Versuche Zerlegungen in 7 und 12 Teilquadrate zu finden.

Auf wie viele verschiedene Weisen ist das jeweils möglich?

Was hilft es dir, wenn man das Ausgangsquadrat „kariert“? 

(Das Problem wurde etwas detaillierter auf der Mathematikolympiade 2008/2009 gestellt.)

Teilungen in 12 Teilquadrate

Die Kennzeichnung als Summe fasst die Anzahl gleich großer Quadrate als einen Summanden zusammen. Der erste Summand gibt hier immer die Anzahl der größten Teilquadrate an, es folgen die Anzahlen der jeweils nächstkleineren Quadrate.

Vorgehen: Man geht von einer Viererteilung aus und teilt eines der Teilquadrate in 9 noch kleinere Quadrate. 

Ergebnis: Kennzeichnung durch eine Summe: 3 + 9

Vorgehen: Man geht von einer Sechserteilung aus und teilt nacheinander 2 Teilquadrate in 4 noch kleinere Quadrate. 

Ergebnis1: Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 3 + 8

Ergebnis2: Wenn man zuerst das größte Quadrat viertelt, erhält man das gleiche Ergebnis als wäre man von einer Neunerteilung ausgegangen und hätte eines der Quadrate geviertelt. Deswegen ist das Bild auch weiter unten.

Ergenis3: Kennzeichung durch eine Summe: 1 + 4 + 3 + 4

Vorgehen: Man geht von einer Siebenerteilung aus und teilt eines der Teilquadrate in 6 noch kleinere Quadrate. 

Ergebnis 1: Kennzeichnung durch eine Summe: 3 + 3 + 1 + 5

Ergebnis 2: Kennzeichnung durch eine Summe: 2 + 1 + 4 + 5

Vorgehen: Man geht von einer Neunerteilung aus und teilt eines der Teilquadrate in 4 noch kleinere Quadrate. 

Ergebnis: Kennzeichnung durch eine Summe: 8 + 4

Vorgehen: Man geht von einer Teilung durch 6x6 Karos aus und fasst 25 Karos wieder zu einem Quadrat zusammen.

Ergebnis: Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 11

Vorgehen: Man geht von verschiedenen Karorastern aus und fasst probeweise zu größeren Quadraten zusammen.

Ergebnisse:

Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 2 + 2 + 7 (ausgehend von 7x7-Quadrat)

Kennzeichnung durch eine Summe: 2 + 2 + 2 + 6 (ausgehend von 8x8-Quadrat)

Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 3 + 8  (ausgehend von 9x9-Quadrat)

Diese Kennzeichnung gab es schon einmal. Damit stellt sich die Frage, ob die zugehörigen Zerlegungen als gleich angesehen werden sollen. Da diese Zerlegungen nicht durch Vertauschen verschiedener Bildteile ineinander überführt werden können, neige ich dazu, sie trotzdem als verschieden anzusehen.

Kennzeichnung durch eine Summe: 2 + 1 + 2 + 3 + 4 (ausgehend von 10x10-Quadrat)

Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 1 + 4 + 6 (ausgehend von 11x11-Quadrat)

Kennzeichnung durch eine Summe: 1 + 3 + 2 + 6 (ausgehend von 11x11-Quadrat)

Kennzeichnung durch eine Summe:1 + 5 + 2 + 4 (ausgehend von 11x11-Quadrat)

Ich habe noch gefunden:

Ausgehend von einem 12x12 Quadrat eine Zerlegung mit der Summenkennzeichnung 1 + 3 + 4 + 4

Ausgehend von einem 13x13 Quadrat  Zerlegungen mit den Summenkennzeichnungen 1 + 3 + 2 + 2 + 4, 1 + 2 + 1 + 3 + 5 und 1 + 2 + 5 + 3.

Ausgehend von einem 14x14 Quadrat  Zerlegungen mit den Summenkennzeichnungen 1 + 3 + 1 + 1 + 3 + 3 und 1 + 3 + 3 + 4 + 1.