Quadrate in Quadrate teilen

Die Abbildungen zeigen drei Zerlegungen eines Quadrats in 10 Teilquadrate.

Versuche Zerlegungen in 7 und 12 Teilquadrate zu finden.

Auf wie viele verschiedene Weisen ist das jeweils möglich?

Was hilft es dir, wenn man das Ausgangsquadrat „kariert“? 

(Das Problem wurde etwas detaillierter auf der Mathematikolympiade 2008/2009 gestellt.)

Wenn man sich die Quadrate in der Aufgabenstellung ansieht, stellt man fest, dass das ursprüngliche Quadrat zunächst in vier Teilquadrate geteilt wurde, einige dieser Teilquadrate auf die gleiche Weise wieder in Teilquadrate usw. Bei diesem Verfahren wird 1 Quadrat in 4 kleinere verwandelt, die Zahl der Quadrate nimmt also um 3 zu. 

Eine Möglichkeit für eine Teilung in 7 Teilquadrate

Damit ist eine Möglichkeit gefunden, zu 7 Quadraten zu kommen: Man teilt das ursprüngliche Quadrat zunächst in 4 Quadrate und dann eines der Teilquadrate wieder in 4 Quadrate (s. linkes Bild). Einer Anregung aus der Aufgabenstellung für die Mathematikolympiade folgend, wollen wir diese Zerlegung als Summe 3 + 4 schreiben, dabei steht jeder Summand für die Anzahl von Teilquadraten der gleichen Größe. 

Weitere Möglichkeiten zu teilen

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das ursprüngliche Quadrat in viele kleine Quadrate aufzuteilen (es sozusagen zu karieren) und mehrere der kleinen Quadrate wieder zu einem Quadrat zusammenzufassen. Die einfachste Art, auf diese Weise zu etwas Neuem zu kommen, besteht darin, zunächst das ursprüngliche Quadrat in neun Karos zu teilen und dann wieder vier dieser Karos zu einem größeren Quadrat zusammenzufassen. Das Ergebnis sieht dann wie im rechten Bild aus. Zu dieser Zerlegung gehört die Summe 1 + 5.

Geht man von einer nxn-Karierung aus und fasst die (n-1)² Karos in einer Ecke des ursprünglichen Quadrats wieder zu einem Quadrat zusammen, so erhält man eine Teilung 1 + (n + (n – 1)), d. h. eine Teilung in 2n Teilquadrate.

Auf diese Weise kann man nicht zu 7 Teilquadraten kommen.

Die kleinste mögliche Zahl von Teilquadraten ist 4, weil jede Ecke des ursprünglichen Quadrats Ecke eines Teilquadrats sein muss, dabei können nicht zwei Ecken des ursprünglichen Quadrats zu dem gleichen Teilquadrat gehören.

Eine Teilung in 5 Teilquadrate kann es nicht geben, weil  es zwei Seiten des ursprünglichen Quadrats geben muss, an denen jeweils drei Teilquadrate liegen. (Das sieht man so ein, dass mindestens drei der Teilquadrate einer Fünferteilung kleiner sind als ein Viertel des ursprünglichen Quadrats.) An diesen Seiten liegen insgesamt mindestens fünf Teilquadrate, so dass man mit dem Quadrat in der vierten Ecke auf mindestens sechs Teilquadrate kommt (s. o.)

Welche Möglichkeiten für die Teilung in 7 Teilquadrate gibt es noch?

Bei der Teilung in sieben kleinere Quadrate kann es nicht so sein, dass an jeder Seite des ursprünglichen Quadrats drei kleine Quadrate anliegen, denn dann hätte man schon acht Teilquadrate allein an den Seiten. Folglich muss es eine Seite geben, an der nur zwei Quadrate anliegen; diese Quadrate haben demnach jeweils ein Viertel der Gesamtfläche. 

Beim verbleibenden Rechteck können an der kürzeren Rechteckseite höchstens zwei Quadrate anliegen. Drei oder mehr anliegende Teilquadrate würden zur Notwendigkeit führen, dass das verbleibende Rechteck in zwei Quadrate geteilt werden kann oder schon ein Quadrat ist. Beides trifft nicht zu.

Damit gelangt man aber zu der oben schon gezeichneten Möglichkeit, wobei das Viertel-Quadrat im unteren Streifen auch von den kleinsten Quadraten links und rechts eingerahmt werden kann. 

Andere Teilungen als die durch die Summe 3 + 4 beschriebene gibt es für 7 Teilquadrate nicht.

Teilungen in 12 Teilquadrate

Ich bin mit den beschriebenen Möglichkeiten auf  20 Möglichkeiten zu teilen gekommen. Damit jeder, der bis hier gekommen ist, seine eigene Fantasie anstrengen kann, sind die Bilder dazu auf einer eigenen Seite. Wenn jemand auf weitere Möglichkeiten kommt, bin ich bereit, sie auf dieser Seite mit Namensnennung zu veröffentlichen.

Damit ist auch klar, dass ich auf einen Vollständigkeitsbeweis verzichte. Mir ist noch nicht einmal klar, ob es möglich ist oder nicht, dass die Verhältnisse der Seiten verschiedener Teildreiecke zueinander oder zum ursprünglichen Quadrat rational sein müssen, d. h. ob man überhaupt immer ein Karoraster finden kann, auf dem alle Teilungslinien liegen.

Abschließende Bemerkungen

Teilungen in 2, 3 und 5 Quadrate kann es nicht geben. Da es Teilungen in 6, 7 und 8 Quadrate gibt und jede Viertelung eines Quadrats die Zahl der Teilungsquadrate um 3 erhöht, kann man zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl eine Teilung finden. Z. B. zu 29, indem man von einer Achterteilung ausgeht und danach noch 7 Viertelungen vornimmt.