Viele bunte Dreiecke

1. Überzeuge dich, dass es zwischen den vier Eckpunkten A, B, C und D eines Vierecks genau sechs Verbindungsstrecken AB, AC, AD, AC, BC, BD, CD gibt und dass es genau vier Dreiecke ABC, ABD, ACD und BCD gibt, die diese Verbindungsstrecken als Seiten besitzen!
   Zeichne ein konvexes Fünfeck ABCDE!
   
   Wie viele Verbindungsstrecken gibt es zwischen den fünf Eckpunkten?
   
   Wie viele Dreiecke mit diesen Verbindungsstrecken als Seiten gibt es?
   
   Zeige, dass es möglich ist, diese Verbindungsstrecken so mit den Farben rot und blau zu färben, dass es kein Dreieck gibt, dessen Seiten alle mit der gleichen Farbe gefärbt sind!
   
   
2. Betrachte ein konvexes Sechseck!
   
   Zeige, dass es in diesem Fall mindestens ein Dreieck gibt, dessen Seiten alle mit der gleichen Farbe gefärbt sind!

Hinweis: Ein n-Eck heißt konvex, wenn alle Innenwinkel dieses n-Ecks kleiner als 180° sind.

(Diese Aufgabe wurde auf der 42. Mathematikolympiade als Aufgabe 12 im 8. Jahrgang gestellt.
http://www.mathematik-olympiaden.de)

1. Vierecke und Fünfecke
   • Die genannten Verbindungsstrecken sind alle, die es im Viereck gibt. Zum Beispiel kann man sich das so überlegen:
     Von A aus gibt es drei Verbindungsstrecken. Alle Verbindungsstrecken mit einem Endpunkt A sind da schon mitgezählt.
     Von B aus gibt es dann noch zwei Verbindungsstrecken (weil als zweite Endpunkte nur noch die „unverbrauchten“ C und D in Frage kommen).
     Von C aus gibt es dann nur noch eine Verbindungsstrecke.
     Zusammen sind es sechs Verbindungsstrecken.
   
   • Jeweils drei der Punkte A, B, C und D lassen sich zu einem Dreieck verbinden. Da man jeden Punkt einmal weglassen kann, sind es vier Dreiecke.
   • Mit dem Argument von oben gibt es bei fünf Eckpunkten
     4+3+2+1 = 10 Verbindungsstrecken.
   • Zu jeder Verbindungsstrecke gibt es drei der fünf Punkte, die nicht zu dieser Strecke gehören. Sie sind Eckpunkte eines Dreiecks aus Verbindungsstrecken. Damit gibt es genauso viele Dreiecke wie Verbindungsstrecken, also zehn.
   • Den Nachweis, dass man die Verbindungsstrecken im Fünfeck so färben kann, dass es weder ein rotes noch ein blaues Dreieck gibt, wird dadurch erbracht, dass ein Beispiel gezeigt wird.
     (Es muss nicht sein, dass wie hier alle Seiten die gleiche Farbe haben und die Diagonalen die andere.  Entscheidend ist, dass von jeder Ecke genau zwei Strecken mit  jeder Farbe abgehen.)

2. Sechsecke
   • Von jeder Ecke des Sechsecks gehen fünf  Verbindungsstrecken zu den anderen Ecken aus. Sieht man sich eine Ecke an, so müssen mindestens drei der fünf Strecken die gleiche Farbe haben. Im Bild ist A mit drei blauen Strecken gezeichnet. (Für die folgende Argumentation ist es nicht wichtig, dass die gemeinsame Farbe Blau ist, oder wie die zweiten Endpunkte der Strecken heißen. Die Mathematiker drücken das aus, indem sie das Kürzel oBdA einsetzen, was ausgeschrieben „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ heißt.)
   • OBdA sollen von A drei blaue Strecken ausgehen, deren zweite Endpunkte oBdA B, C und D sein sollen. Entweder das Dreieck BCD ist einfarbig rot oder mindestens eine der drei Seiten ist blau. In diesem Fall soll oBdA die Strecke BC blau sein. Dann ist aber ABC ein blaues Dreieck.
   • In jedem denkbaren Fall ist also ein einfarbiges Dreieck dabei.