Summen aufeinanderfolgender Zahlen

Die Zahl 30 lässt sich als Summe aufeinanderfolgender Zahlen schreiben:

30 = 9 + 10 + 11

Dies ist nicht die einzige Möglichkeit. Es gilt auch:

30 = 4 + 5+ 6 + 7 + 8

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit; welche?
Wie viele soche Zerlegungen haben die Zahlen 31 und 32?
Untersuche der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, .... Auf wie viele Weisen lassen sie sich als Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen?
Du entdeckst vielleicht ein Gesetz!

Die dritte Möglichkeit ist

30 = 6 + 7 + 8 + 9

31 hat eine Zerlegung, 32 gar keine.

Wie kommt man nun auf Regeln oder Gesetze?

Zunächst schreibt man einige Zerlegungen auf:

1 es gibt noch keine Zerlegung, es sei denn, man lässt 0 + 1 zu.

2; es gibt keine Zerlegung.

3 = 1 + 2

4; es gibt keine Zerlegung.

5 = 2 + 3

6 = 1 + 2 + 3

7 = 3 + 4

8; es gibt keine Zerlegung.

9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

10 = 1 + 2 + 3 + 4

11 = 5 + 6

12 = 3 + 4 + 5

Beobachtungen und Schlussfolgerungen:

1. Zerlegungen mit zwei Summanden sind immer ungerade. Erhöht man jeden Summanden um 1, so erhält man wieder eine Summe aufeinanderfolgender Zahlen, sie ist um 2 größer als die Ausgangssumme, d. h. man erhält die nächste ungerade Zahl.
   Ist n eine ungerade Zahl, so ist

n = (n-1)/2 + (n+1)/2 eine Zerlegung von n in eine Summe zweier aufeinander folgender Zahlen.

2. Hat eine Zahl eine Zerlegung mit drei Summanden, so gibt es einen mittleren Summanden. Ich nenne die Zahl n und den mittleren Summanden k. Dann gilt:
   n = (k – 1) + k + (k+1) = 3k.
   D. h. jede Zerlegung mit 3 Summanden ist ein Vielfaches von 3.
   Entsprechend lässt sich begründen, dass jede Zahl, die eine Zerlegung mit einer ungeraden Anzahl von Summanden hat, ein Vielfaches dieser Anzahl ist (d. h. bei 5 Summanden ein Vielfaches von 5, bei 7 Summanden ein Vielfaches von 7 usw.)

3. Zweierpotenzen haben keine Zerlegungen. (Zweierpotenzen sind zunächst die Zahl 2 selbst, dann 2•2, dann 2•2•2 usw.)
   Zweierpotenzen haben keine Zerlegung aus zwei Summanden, weil die immer ungerade sind.
   Zweierpotenzen haben keine Zerlegung mit einer ungeraden Zahl von Summanden, weil solche Zerlegungen immer durch die Anzahl der Summanden teilbar sind.
   Zweierpotenzen können auch keine Zerlegung mit einer geraden Anzahl von Summanden haben, selbst wenn diese Zahl größer als zwei ist. Begründung: Die Summe von erstem und letztem Summanden ist genauso groß, wie die Summe aus zweitem und vorletztem usw. (so lange sie sich bilden lassen und nur bis man bei den beiden mittleren Zahlen angekommen ist). Diese Summen sind immer ungerade und die ganze Zerlegung ist dann das Vielfache einer ungeraden Zahl. Das kann aber keine Zweierpotenz sein.

Vermutung:

Jede Zahl, die einen ungeraden Teiler hat, hat auch eine Zerlegung und die Zahl der Zerlegungen stimmt mit der Zahl der ungeraden Teiler, die von 1 verschieden sind, überein.

In 2. ist ein Verfahren beschrieben, das sich häufig anwenden lässt: Die Zahl wird in ein Produkt aus zwei Faktoren umgewandelt, bei dem mindestens einer ungerade ist. Für 15 wird das beispielhaft vorgeführt:

15 = 3•5 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

(Man sieht so viele Summanden vor, wie der ungerade Teiler angibt, und schreibt den anderen Teiler in die Mitte.)

Bei 14 geht dieses Verfahren aber schief (außer für Leute, die negative Zahlen schon kennen, dann klappt es immer):

14 = 2•7.

Wenn man jetzt 7 Summanden vorsieht und 2 in die Mitte schreibt, dann kann man links nur 1 und vielleicht 0 auffüllen, weiter geht es dann aber nicht.

In solchen Fällen kann man immer ein anderes Verfahren benutzen. Man nimmt eine Zerlegung der 7 in zwei Summanden und setzt die Summe nach oben und nach unten noch um jeweils einen Summanden fort:

14 = 2 + 3 + 4 + 5

(allgemein hat man doppelt so viele Summanden, wie der andere Faktor angibt.)

Da tatsächlich immer eines der beiden Verfahren für jeden ungeraden Teiler angewendet werden kann und für verschiedene ungerade Teiler auch zu verschiedenen Zerlegungen führt, trifft die Vermutung zu.

(Bezogen auf 30 wären es die ungeraden Teiler 3, 5 und 15.

30 = 3•10 = 9 + 10 + 11 hier steht 10 in der Mitte

30 = 5•6 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 hier steht 6 in der Mitte

30 = 2•15 = 6 + 7 + 8 + 9, hier geht man von 7 + 8 = 15 aus und ergänzt davor und danach die vorausgehende oder die folgende Zahl, die zusammen auch wieder 15 ergeben.)