Durchschnittsgeschwindigkeiten

• Ein Auto fährt eine Strecke von 200 km.
  Zuerst fährt es 80 km mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h.
  Danach fährt es eine halbe Stunde mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h.
  Die restliche Strecke fährt es mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h.
  
  Wie war die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke?
  (Angabe in Kilometern pro Stunde, eine Dezimale reicht)
  
  
• Ein anderes Auto fährt in einem Übungsgelände eine Runde mit 40 km/h und die zweite (natürlich gleich lange) Runde mit 60 km/h.
  Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über zwei Runden?
  (Die am nächsten liegende Antwort ist zu ungenau für uns.)

Zusammenstellung der Formeln

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dazu benötigten Zeit.
Formel: v = s / t

Wenn eine Person weiß, wie schnell sie fährt und wie lange sie schon unterwegs ist, kann sie ausrechnen, wie weit sie schon gekommen ist, wenn sie die Geschwindigkeit mit der Zeit multipliziert.
Formel: s = v · t

Wenn eine Person weiß, wie weit sie fahren will und die ganze Zeit eine Geschwindigkeit einhält, kann sie ausrechnen, wie lange sie braucht, wenn sie die Strecke durch die Geschwindigkeit teilt.
Formel t = s/v

1. Teilaufgabe

Die gesuchte Gesamtstrecke ist 200 km.

Für die erste Teilstrecke braucht das Auto 80km/(100 km/h) = 0,8 h (das sind 48 min).
Für die zweite Teilstrecke braucht das Auto eine halbe Stunde oder 0,5 h.

Bevor man die letzte Zeit herausbekommt, muss die Länge der letzten Teilstrecke bestimmt werden.

Die erste Teilstrecke ist 80 km lang, die zweite 0,5h · 60 km/h = 30 km; es bleiben für die dritte Teilstrecke 90km = 200 km - (80 km + 30 km).
Die Zeit für die dritte Teilstrecke beträgt 90 km/ (80 km/h) = 1,125 h (das sind 67,5 min).

Insgesamt braucht das Auto für 200 km 2,425 h, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also 200 km / 2,425 h = 82,5 km/h

2. Teilaufgabe

Die Länge einer Runde soll s sein. Dann ist die Gesamtstrecke 2 · s.

Für die erste Runde werden s /(40 km/h) = (s /40 km) h gebraucht.
Für die zweite Runde werden s /(60 km/h) = (s /60 km) h gebraucht.
Die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann:

= 48 km/h

Es wird deutlich, dass es auf die Länge der Runde gar nicht ankommt. Das arithmetische Mittel ist hier nicht anwendbar. Die Mathematiker unterscheiden verschiedene Arten der Mittelwertbildung. Der folgende Ausdruck heißt harmonisches Mittel der Zahlen 40 und 60.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit über 2 Runden beträgt 48 km/h.