schülerzirkel
mathematikWer hat Spaß an kniffligen Problemen?
Problem des Monats Dezember 2004 mit Lösung
| Teilbarkeit |
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Weshalb ist
jede der Zahlen 342342, 271271, 566566,
127127, ... durch 11 teilbar? Ist jede der Zahlen 24 – 22, 34 – 32, 44 – 42, 54 – 52, ... durch 12 teilbar? |
| Zur 1. Frage: Zunächst fällt auf, dass jede der sechsstelligen Zahlen entstanden ist, indem eine dreistellige Zahl zweimal nacheinander geschrieben wurde. Teilt man z. B. 342342 durch 342, so erhält man 1001, bei den anderen genauso. (Man kann sich das auch so klarmachen, dass Multiplikation mit 1000 drei Nullen an die Zahl hängt, Multiplikation mit 1 lässt die Zahl unverändert. Addiert man beide Produkte, so erhält man das Produkt aus der Zahl und 1001. War die Zahl dreistellig, so passt die Zahl gerade an die Stelle der drei Nullen.) 11 ist ein Teiler von 1001, deshalb auch von allen Vielfachen von 1001, insbesondere von den Zahlen, die im Monatsproblem aufgeschrieben sind. Zur 2. Frage: Jede Zahl kann auf gleiche Weise umgeformt werden. Am Beispiel der ersten Zahl soll das einmal vorgemacht werden: 24 – 22
= 22 (22
– 1) = 22 (2
– 1) (2 + 1)
Jede dieser Zahlen lässt sich also als Produkt aus vier
Faktoren darstellen, wobei drei aufeinanderfolgende natürliche
Zahlen als Faktoren vorkommen, die mittlere zweimal.(Ausklammern des Quadrats, umformen der Klammer nach der dritten binomischen Formel) Wenn drei Zahlen aufeinander folgen, muss eine von ihnen durch 3 teilbar sein. Ist die mittlere Zahl gerade, so ist das Produkt durch 4 teilbar, weil im Produkt das Quadrat der mittleren Zahl vorkommt, ist sie ungerade, so sind die beiden anderen Faktoren gerade und das Produkt ist wieder durch 4 teilbar. Eine Zahl, die als Primfaktoren 2, 2 und 3 enthält, hat auch ihr Produkt als Teiler, das ist aber 12. Jede der Zahlen, die so gebildet werden, ist durch 12 teilbar. |