Wir betrachten ein Quadrat ABCD, dessen Eckpunkte mit den Seitenmittelpunkten M₁, M₂, M₃ und M₄ wie in der Zeichnung verbunden sind. Es lässt sich zeigen, dass das Viereck PQRS auch ein Quadrat ist.

Ermittle, in welchem Verhältnis der Flächeninhalt von PQRS zum Flächeninhalt von ABCD steht!

Beweise selbst, dass das Viereck PQRS auch ein Quadrat ist!

(Diese Aufgabe wurde auf der 45. Mathematikolympiade als Aufgabe 13 im 8. Jahrgang gestellt. (http://www.mathematik-olympiaden.de)

Ich nenne eine Quadratseite a.

Es gibt Dreiecke wie ABM₄, bei denen Seiten mit den Längen a und ½· a einen rechten Winkel einschließen. Ihr Flächeninhalt ist ½· ½· a· a = ¼ a².

Von den kleinen Dreiecken wie M₁BP passen vier in die mittelgroßen Dreiecke wie ABS. (Die Parallele zu AS durch M₁ halbiert gerade SB und die Parallele zu AB durch P halbiert AS. Die beim Zeichnen der Parallelen  entstehenden  Teildreiecke sind kongruent zu M₁BP.)

Fügt man zum Dreieck ABS das zu M₁BP kongruente Dreieck ASM₄ hinzu erhält man das Dreieck ABM₄, das demnach aus fünf der kleinen Dreiecken besteht. Ein kleines Dreieck hat demnach den Flächeninhalt a²/20. Das Quadrat PQRS erhält man, wenn man vom Quadrat ABCD die Dreiecke ABS, BCP, CDQ und ARD abschneidet, die sich nicht überlappen und von denen jedes den Flächeninhalt 4a²/20 hat. Das Quadrat PQRS hat demnach den Flächeninhalt a² - 16a²/20 = 4a²/20 = a²/5.

Der Flächeninhalt von PQRS ist ein Fünftel des Flächeninhalts von ABCD.

Bisher ist stillschweigend davon ausgegangen worden, dass das Viereck PQRS ein Quadrat ist.

Tatsächlich wissen wir zunächst nur, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist und dass die Punkte M₁, M₂, M₃ und M₄ die Quadratseiten halbieren, auf denen sie liegen. (Voraussetzungen)

Die großen Dreiecke (ABM₄, BCM₁, CDM₂ und AM₃D) sind kongruent zueinander, weil sie alle einen rechten Winkel haben und die Seiten, die den rechten Winkel bilden jeweils die volle oder die halbe Länge einer Quadratseite haben (sws).

In dem Quadrat links neben dem Text sind die Winkel in den großen Dreiecken, die als entsprechende Winkel in kongruenten Dreiecken gleich sind, jeweils genauso bezeichnet worden. Es zeigt sich, dass sie in gleicher Größe auch in den kleinen Dreiecken auftreten. Da die Summe der Winkelgrößen in allen Dreiecken 180° ist, muss jeweils ein Winkel (und damit alle) bei P, Q, R und S 90° betragen. Damit ist das Viereck PQRS schon einmal ein Rechteck.

Die kleinen Dreiecke sind auch zueinander kongruent (wsw). Man erhält die Strecke SP, indem man von der Strecke BM₄ die Strecken BP und SM₄ subtrahiert. Wegen der Kongruenz der beteiligten Dreiecke erhält man eine Strecke gleicher Länge, wenn man von der Strecke M₁C die Strecken M₁P und QC subtrahiert. Man erhält damit die Strecke PQ. Weil in dem Rechteck PQRS die in der Ecke P zusammenstoßenden Seiten SP und PQ gleich lang sind, ist das Rechteck sogar ein Quadrat.