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Wer hat Spaß an kniffligen Problemen?

Problem des Monats April 2005 mit Lösung

Dreiecke

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC. Über seinen Seiten werden regelmäßige Dreiecke errichtet. Ihre Mitten sind U, V und W. Beweise, dass Dreieck UVW auch ein regelmäßiges Dreieck ist.

Lösung

Wir nehmen zunächst das Dreieck als spitzwinklig an. Schlage um die regelmäßigen Dreiecke mit den Mitten U und V die Umkreise. Sie schneiden sich in einem Punkt T. Von diesem Punkt aus erscheinen die Dreiecksseiten BC und AC unter dem Sehwinkel von 120°. Denn sie sind die Randwinkel (Umfangswinkel) über Kreisbögen (BC bzw. CA, im mathematisch positiven Drehsinn), deren Mittelpunktswinkel 240° betragen. Folglich bleiben für den Winkel BTA auch genau 120° übrig, weshalb der Umkreis mit dem Mittelpunkt W ebenfalls durch T gehen muss. Die Konstruktion von T zeigt, dass T Spiegelbild der Punkte A, B und C jeweils an einer Seite des Dreiecks UVW ist. AT und TB stehen also senkrecht auf den Seiten VW bzw. WU, und da der Winkel ATB 120° beträgt, muss der Winkel VWU 60° haben (Winkelsumme im Viereck ist 360°). Entsprechend zeigt man dasselbe für den Winkel WUV. Dreiecke mit zwei Innenwinkeln von 60° sind aber regelmäßig.
	Vergrößern wir den Winkel gamma bei C und halten die Seitenlängen von AC und BC fest, so wandert T auf C zu. Bei gamma = 120° ist T = C. Bei weiterer Vergrößerung liegt T außerhalb des Dreiecks ABC. Doch stets gilt: Die drei Umkreise schneiden einander in T; auch ist weiterhin T Spiegelbild der Punkte A, B und C an jeweils einer Dreiecksseite. Unser Beweis lässt sich ‑leicht verändert ‑ auf den Fall gamma > =120° übertragen.
Anmerkung: Der bewiesene Satz heißt „Satz von Napoleon“. Napoleon soll ihn dem bedeutenden Mathematiker Joseph‑Louis Lagrange (1736 -1813) zum Beweis vorgelegt haben. Sicher ist, dass Napoleon mathematisch sehr interessiert war. T heißt „Torricellipunkt“ nach dem italienischen Mathematiker Evangelista Torricelli (1608 ‑ 1647). Torricelli war ein Schüler Galileis. Er löste die von Pierre Fermat (1601 ‑ 1655) gestellte Aufgabe aus der ebenen Geometrie: Gesucht ist der Punkt, für den die Summe der Abstände von den Ecken eines Dreiecks minimal ist. Der gesuchte Punkt ist tatsächlich der Torricellipunkt T, sofern das Dreieck keinen Winkel über 120° hat. In letzterem Falle ist der gesuchte Punkt die Ecke mit dem stumpfen Winkel. Literatur: Fritz Schmidt, 200 Jahre französische Revolution; DdM 18 (1990), Heft 1, Seite 15 ff.