Schülerzirkel Mathematik

Juli 2006 - Die Wanderung

Berufsbedingt kaufe ich mir gern Knobelbücher. Zuletzt von Heinrich Hemme „Alice im Knobelland“. Herr Hemme erzählt nette kleine Begebenheiten und alle von ihnen enden in einem Rätsel.

Zum Beispiel „überredet“ er seine Familie zu einer Wanderung. Auf dieser Wanderung um einen Berg herum treffen sie eine Familie aus der Nachbarschaft, die ihnen entgegenkommt, und auch den Berg umrundet.

Weil keine Familie den bisher zurückgelegten Weg doppelt gehen will, setzt jede Familie ihre Runde in der ursprünglichen Richtung fort. Beim Parkplatz trifft man sich um vier Uhr wieder. Als die Nachbarsfrau fragt: „Wie spät war es eigentlich, als wir uns unterwegs getroffen haben?“, kann keiner die Frage beantworten, weil niemand auf die Uhr gesehen hatte. Es wird nur festgestellt, dass Familie Hemme um zwei Uhr und die Nachbarsfamilie um ein Uhr vom Parkplatz aufgebrochen waren.

Wie spät war es beim Treffen unterwegs?

Zur Lösung

Juni 2006 - Viele bunte Dreiecke

Überzeuge dich, dass es zwischen den vier Eckpunkten A, B, C und D eines Vierecks genau sechs Verbindungsstrecken AB, AC, AD, AC, BC, BD, CD gibt und dass es genau vier Dreiecke ABC, ABD, ACD und BCD gibt, die diese Verbindungsstrecken als Seiten besitzen!

Zeichne ein konvexes Fünfeck ABCDE!

Wie viele Verbindungsstrecken gibt es zwischen den fünf Eckpunkten?

Wie viele Dreiecke mit diesen Verbindungsstrecken als Seiten gibt es?

Zeige, dass es möglich ist, diese Verbindungsstrecken so mit den Farben rot und blau zu färben, dass es kein Dreieck gibt, dessen Seiten alle mit der gleichen Farbe gefärbt sind!
Betrachte ein konvexes Sechseck!

Zeige, dass es in diesem Fall mindestens ein Dreieck gibt, dessen Seiten alle mit der gleichen Farbe gefärbt sind!

Hinweis: Ein n-Eck heißt konvex, wenn alle Innenwinkel dieses n-Ecks kleiner als 180° sind.

(Diese Aufgabe wurde auf der 42. Mathematikolympiade als Aufgabe 12 im 8. Jahrgang gestellt.
http://www.mathematik-olympiaden.de/)

Zur Lösung

Mai 2006 - Die Glasschüssel

Die Zahlen 1 bis 10 werden jeweils auf einen Zettel geschrieben. Die zehn Zettel kommen in eine Glasschüssel.

Jetzt werden zwei zufällige Zettel gezogen. Die Differenz zwischen den beiden Zahlen wird auf einen neuen Zettel geschrieben, der wiederum in die Glasschüssel kommt. Die beiden zuerst gezogenen Zettel werden weggeworfen. Stehen z. B. die Zahlen 7 und 3 auf den beiden Zetteln, wird die Zahl 4 auf den neuen Zettel geschrieben, der in die Glasschüssel gelegt wird.

Anschließend werden zwei neue Zettel gezogen. Die Vorgehensweise zur Ermittlung der Differenz ist wieder die gleiche wie bei der ersten Ziehung.

Dies wird so lange fortgesetzt, bis die beiden letzten Zettel gezogen werden.

Ist die Differenz zwischen den beiden Zahlen immer eine gerade oder eine ungerade Zahl?

Zur Lösung

April 2006 - Quadrat im Quadrat

Wir betrachten ein Quadrat ABCD, dessen Eckpunkte mit den Seitenmittelpunkten M₁, M₂, M₃ und M₄ wie in der Zeichnung verbunden sind. Es lässt sich zeigen, dass das Viereck PQRS auch ein Quadrat ist.

Ermittle, in welchem Verhältnis der Flächeninhalt von PQRS zum Flächeninhalt von ABCD steht!

Beweise selbst, dass das Viereck PQRS auch ein Quadrat ist!

(Diese Aufgabe wurde auf der 45. Mathematikolympiade als Aufgabe 13 im 8. Jahrgang gestellt.
http://www.mathematik-olympiaden.de/)

Zur Lösung

März 2006 - Ein Kalenderproblem

Abergläubische Menschen befürchten Unangenehmes oder erhoffen sich etwas Besonderes, wenn ein Freitag der dreizehnte Tag eines Monats ist.

Untersuche, ob im Laufe eines jeden Jahres mindestens einmal ein „Freitag der dreizehnte“ auftritt, unabhängig davon, ob das Jahr ein Schaltjahr ist oder nicht!
Wie oft kann es im Jahr höchstens einen „Freitag den dreizehnten“ geben?
Auf welchen Wochentag fällt dann der 1. Januar?
Tatsächlich fällt der dreizehnte Tag eines Monats häufiger auf einen Freitag als auf jeden anderen Wochentag. Wie kann das sein?

(Diese Aufgabe ohne 3. wurde auf der 43. Mathematikolympiade als Aufgabe 12 im 8. Jahrgang gestellt.
http://www.mathematik-olympiaden.de/)

Zur Lösung

Februar 2006 - Durchschnittsgeschwindigkeiten

Ein Auto fährt eine Strecke von 200 km.
Zuerst fährt es 80 km mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h.
Danach fährt es eine halbe Stunde mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h.
Die restliche Strecke fährt es mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h.

Wie war die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke?
(Angabe in Kilometern pro Stunde, eine Dezimale reicht)
Ein anderes Auto fährt in einem Übungsgelände eine Runde mit 40 km/h und die zweite (natürlich gleich lange) Runde mit 60 km/h.
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über zwei Runden?
(Die am nächsten liegende Antwort ist zu ungenau für uns.)

Zur Lösung

Januar 2006 - PRIM hoch prim

Gesucht sind alle Primzahlen p und q, für die

p^q + q^p

wieder eine Primzahl ist.

Zur Lösung

Dezember 2005 - Schwarz und Weiß

schiefesSchachbrett
Das Schachbrett-Muster auf diesem schiefen Viereck wird dadurch erzeugt, dass jede der vier Seiten in acht gleiche Teile zerlegt wird.

Ist der Flächeninhalt aller weißen Vierecke ebenso groß wie der aller schwarzen?

Zur Lösung

November 2005 - Die Essenswahl

Strichliste s. Text 12 Schülerinnen machen einen Ausflug. Zum Mittagessen können sie unter drei Gerichten wählen: Spaghetti, Fischstäbchen und Hamburger. Wie nebenstehende Strichliste zeigt, werden dreimal Spaghetti, zweimal Fischstäbchen und siebenmal Hamburger gewählt.

Wie viele Möglichkeiten der Anwahl für die drei Gerichte gibt es?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Gruppe statt aus zwölf aus n Personen besteht?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn vier Gerichte zur Auswahl stehen?

Zur Lösung

Oktober 2005 - Gummirechtecke

Nagelbrett mit Gummirechteck
30 Nägel gucken aus einem Brett. Sie bilden die Ecken vieler kleiner Quadrate.

Auf wie viele Weisen kann man Gummibänder über die Nägel streifen, so dass Rechtecke entstehen?

Wie viele dieser Gummirechtecke sind Quadrate?

Wie lässt sich das Ergebnis auf größere Nagelbretter übertragen?

Zur Lösung

September 2005 - Vorsicht vor dem Dreieck!

Sechs Punkte auf Kreis Auf einem Kreis sind die sechs Punkte A, B, C, D, E und F markiert. Zwei Spieler verbinden abwechselnd je zwei der sechs Punkte auf dem Kreis. Spieler 1 benutzt die Farbe schwarz, Spieler 2 die Farbe grau. Verloren hat derjenige Spieler, bei dem als erstem ein Dreieck entsteht, dessen Eckpunkte auf dem Kreis liegen und dessen drei Seiten die gleiche Farbe haben.

Gibt es immer einen Verlierer?

Zur Lösung

schülerzirkel
mathematik