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mathematik



Wer hat Spaß an kniffligen Problemen?



Alte Monatsprobleme

(Noch ältere nach Schuljahren: 2002/2003, 2003/2004, 2004/2005, 2005/2006, 2006/2007, 2007/2008)


Januar 2010 – Rätsel mit der 45 und der 24
  1. Finde die kleinste Schnapszahl, die durch 45 teilbar ist.
  2. Zeige, dass 2139 + 3921 durch 45 teilbar ist.
  3. Ist p eine Primzahl, die größer ist als 3, dann ist p2 – 1 durch 24 teilbar.

November 2009 – Welche Zahlen sind es?

Alle Zahlen, die in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen, sind positiv und ganz.

a) Ermittle alle dreistelligen Zahlen z , welche die drei Bedingungen (1), (2) und (3) erfüllen.

(1) Die Zahl z hat die Quersumme 14.

(2) Die Einerziffer von z ist doppelt so groß wie die Hunderterziffer.

(3) Vertauscht man die Einerziffer und die Hunderterziffer, so ist z um 198 kleiner als die Zahl, die man durch diesen Tausch erhält.

b) Ermittle alle vierstelligen Zahlen n, welche die folgenden vier Bedingungen (1), (2), (3) und (4) erfüllen.

(1) Die Zahl n besteht aus vier von Null verschiedenen Ziffern. Dabei tritt jede Ziffer höchstens einmal auf.

(2) Die Zahl n hat die Quersumme 18.

(3) Die Tausenderziffer von n ist um 1 kleiner als die Einerziffer.

(4) Schreibt man die Ziffern von n in umgekehrter Reihenfolge auf, dann ist die so entstehende Zahl um 729 größer als n.

September 2009 – Lauter Stammbrüche

Zeichnung altägyptischer Götter1/2lässt sich auf verschiedene Weisen als Summe von drei Stammbrüchen schreiben, z. B. 
1/2= 1/4+ 1/6 + 1/12 oder
1/2= 1/4+ 1/5+ 1/20.

Gibt es noch mehr Möglichkeiten?

Nun soll die Summe von drei Stammbrüchen kleiner als 1/2 sein, aber möglichst nahe an 1/2 herankommen.

Finde die beste Möglichkeit.

Die Ägypter kannten schon die Bruchrechnung, aber sie arbeiteten fast nur mit Stammbrüchen.

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August 2009 – Wege im Fünfeck

Fünfeck mit Diagonalen und benannten EckenIn einem regelmäßigen Fünfeck kann man verschiedene „Rundwege“ gehen (das heißt so, auch wenn es um Ecken geht).

  • Wie viele und welche Wege beginnen im Punkt A, gehen jeweils genau einmal durch jeden der anderen Punkte und enden schließlich wieder im Punkt A?
  • Wie lang sind diese Wege? (Wenn eine Strecke außen 8 cm lang ist, dann sind die Diagonalen ziemlich genau 13 cm lang.)
    Ordne die verschiedenen Möglichkeiten nach der Gesamtlänge der Wege.

Diese Aufgabe wurde dem Kalender von Herrn Strick entnommen. 

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Mai 2009 – Quadrate in Quadrate teilen

Die Abbildungen zeigen drei Zerlegungen eines Quadrats in 10 Teilquadrate.

Beispiele für Teilung eines Quadrats in verschieden große Teilquadrate

Versuche Zerlegungen in 7 und 12 Teilquadrate zu finden.

Auf wie viele verschiedene Weisen ist das jeweils möglich?

Was hilft es dir, wenn man das Ausgangsquadrat „kariert“? 

(Das Problem wurde etwas detaillierter auf der Mathematikolympiade 2008/2009 gestellt.)

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Februar 2009 – Wo ist was?

Bei einem Spiel versteckt jede der drei Schülerinnen Anna, Brigitte und Claudia in ihrer Handtasche genau einen der Gegenstände: Ball, Bleistift, Schere.

Dieter soll feststellen, wer den Ball, wer den Bleistift und wer die Schere hat.

Auf seine Fragen erhält er folgende Antworten, von denen verabredungsgemäß eine wahr, die beiden anderen falsch sind:

  1. Anna hat den Ball.
  2. Brigitte hat den Ball nicht.
  3. Claudia hat die Schere nicht.

Wie kann Dieter das Problem lösen?

(Das Problem wurde auf einer Mathematikolympiade 1964 gestellt.)

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November 2008 – Wer gewinnt?
zwei Streichholzhaufen

Ein Spiel startet mit zwei Haufen von 5 bzw. 8 Streichhölzern. Zwei Spieler A und B ziehen abwechselnd, wobei Spieler A beginnt. Wer am Zuge ist, muss einen Haufen wegnehmen und den anderen in zwei Haufen zerlegen. Wer als erster keinen vollständigen Zug mehr ausführen kann, hat verloren.

Zeige, dass A stets gewinnen kann.

Wie ist es, wenn die Haufen 5 bzw. 9 Streichhölzer enthalten?

Untersuche das Problem auch für Haufen mit anderen Anzahlen von Hölzern.

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September 2008 – Drei Lote

gleichseitiges Dreieck mit einer Folge von LotenIm gleichseitigen Dreieck ABC wird dreimal ein Lot gefällt:

  1. Das Lot von C auf AB; sein Fußpunkt ist D.
  2. Das Lot von D auf AC; sein Fußpunkt ist E.
  3. Das Lot von E auf BC; sein Fußpunkt ist F.

EF schneidet CD in G.

Welche besonderen Eigenschaften hat Dreieck DEG?

Das Dreieck ABC ist in 5 Teile zerlegt worden; wie groß sind diese Teile, verglichen mit dem Flächeninhalt von Dreieck ABC?

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